by

OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan

Sifat-sifat operasi hitung bilangan kali ini masih sangat dasar sekali, dan biasanya dipelajari di jenjang sekolah tingkat dasar. Namun tidak ada salahnya jika sifat-sifat operasi hitung bilangan tersebut diingat kembali, apalagi sifat-sifat tersebut sangat penting hingga ke jenjang perguruan tinggi.

Kali ini hanya akan diulas sedikit mengenai sifat-sifat operasi hitung bilangan, yaitu sebagai berikut:

1. Sifat Komutatif (Pertukaran)
a). Sifat komutatif pada penjumlahan, bentuknya: a + b = b + a
b). Sifat komutatif pada perkalian, bentuknya: a x b = b x a

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)
a). Sifat asosiatif pada penjumlahan, bentuknya: (a + b) + c = a + (b + c)
b). Sifat asosiatif pada perkalian, bentuknya: (a x b) x c = a x (b x c)

3. Sifat Distributif (Penyebaran)
Bentuknya adalah a x (b + c) = (a x b) + (a x c) atau (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

Contoh Soal:
1. Gunakan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif untuk mengerjakan soal-soal berikut:
a). 5 x 6 =…
b). (4 + 7) + 8 =…
c). 5 x (3 + 9) =…
Jawab:
a). 5 x 6 = 6 x 5 = 30 (Sifat komutatif perkalian)
b). (4 + 7) + 8 = 4 + (7 + 8)
= 4 + 15
= 19 (Sifat asosiatif pada penjumlahan)
c). 5 x (3 + 9) = (5 x 3) + (5 x 9)
= 15 + 45
= 60 (Sifat distributif)

by

SOAL – SOAL SATUAN WAKTU KLS V SD

1. 4 Jam = …. Menit
2.30 menit = ….. Detik
3. 2 jam = ….. Detik
4.10 menit 40 detik = …… Detik
5.6 jam 40 menit = ……….. Menit
6.600 menit + 120 menit = ….. Jam
7.20 menit 25 detik = ….. Detik
8.3 jam 10 menit 360 detik = ….. Menit = …… Detik
9.10.800 detik + 60 menit = ….. Jam
10.11 minggu = ….. Hari
11.2,5 abad = ….. Tahun
12.450 hari = ….. Bulan
13.3 lustrum = ….. Tahun = ….. Bulan
14.14 tahun + 120 bulan = …. Windu
15.5 bulan + 6 minggu = …. Hari
16.1,5 tahun + 4 minggu + 49 hari = ….. Minggu
17.4 abad + 10 tahun = …. Bulan
18.4 minggu + 14 bulan + 25 hari = …… Hari
19.10¼ tahun + 9 bulan = ….. Bulan
20.Pak Agus membaca koran dari pukul 06.10 sampai pukul
21.Laras, Pipit & Via menanam bunga dari pukul 09.55 sampai pukul 11.25. Berapa lama mereka menanam bunga ?
22.Laras & Kanjeng Mami bermain ular tangga mulai dari pukul 15.20 dan selesai pukul 17.20. Berapa menit mereka bermain ular tangga ?
23. Pritha bermain boneka mulai umur 2 tahun. Setelah umur 6 tahun, Pritha tidak mau lagi bermain boneka. Berapa bulankah Pritha gemar bermain boneka
24. Via berangkat sekolah diantar ayahnya menggunakan motor. Jika Via berangkat pukul 07.05 dan sampai di sekolah pukul 07.45. Berapa lama perjalanan Via ke sekolah ?
25. Pak Parto dan Bu Ida mengajar di SDN Cikumpa, Depok selama 6 tahun 18 minggu. Berapa hari mereka mengajar di SDN Cikumpa, Depok ?
26. Sule membutuhkan waktu 4 jam 15 menit untuk membuat bedeng cabai dan 1 jam 10 menit untuk menebar bibit cabainya. Selama bekerja, Sule beristirahat dua kali masing-masing 5 menit dan 20 menit. Jika Sule mulai bekerja pukul 08.25, pada pukul berapa Sule berhasil menyelesaikan pekerjaannya ?
27.Jika sekarang pukul 21.15, maka 50 menit yang akan datang pukul
28.Jika sekarang pukul 11.47, maka 57 menit yang lalu pukul :
29.2¾ jam + 50 menit = … Detik
30.4½ jam + 660 detik = … Menit

Selamat Mengerjakan !!!

by

BARISAN ARITMATIKA

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
3, 7, 11, 15, 19, …
Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka
U1 = 3 =+ 4 (0)

U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
….
Un = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
Un = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 – U1 = U3 – U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

by

SOAL – SOAL STATISTIKA SMP

1. Diketahui nilai matematika dari 10 siswa kelas 9 SMP sebagai berikut :
8,5,7, 6, 7, 5, 9, 5, 7,8
Mean dari data tersebut adalah … .
A. 6,6 B. 6,7 C. 6,8 D. 6,9

2. Nilai rata – rata IPA dari 8 anak adalah 6,3. Apabila ditambah nilai satu anak baru, maka rata – ratanya menjadi 6,1. Nilai anak yang baru adalah … .
A. 4,5 B. 4,9 C. 5 D. 5,9

3. Sebanyak 20 siswa SMPN 1 ditimbang berat badannya (dalam) kg. Diperoleh data sebagai berikut.
50,45,43,49,50,52,41,47,45,46
48,46,48,51,53,47,49,52,58,47
Selisih kuartil atas dan kuartil bawah adalah … .
A. 4 B. 4,5 C. 5 D. 5,5
4. Mean dari data 7,9,12,8,10,15,18,14,16,x, adalah 12. Nilai x adalah … .
A. 11 B. 14 C. 16 D. 18
5. Median dan modus dari 4,3,5,7,6,5,8,9,6,4,5,8 berturut – turut adalah … .
A. 5,5 dan 6 C. 6,5 dan 5
B. 5,5 dan 5 D. 6,5 dan 6

6. Nilai rata – rata ulangan IPA dari 20 siswa adalah 60. Jika ditambah dengan sejumlah anak yang memiliki nilai rata – rata 70, maka nilai rata – ratanya menjadi 62. banyak tambahan siswa tersebut adalah … .
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

7. Nilai rata – rata ulangan matematika dari 30 siswa adalah 5,8. Jika nilai itu digabungkan dengan nilai dari 8 siswa lagi, maka nilai rata – ratanya menjadi 6,0. Nilai rata – rata 8 siswa tersebut adalah … .
A. 5,9 B. 6,5 C. 6,6 D. 6,75

8. Jangkauan interkuartil dari 4,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9 adalah … .
A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2,5
9. Data nilai ulangan suatu mata pelajaran sebagi berikut :
6, 7, 6, 4, 3, 9, 4, 5, 7, 3, 8, 6, 7, 7
Modus dari nilai di atas adalah ….
A. 8 B. 6 ½ C. 7 D. 7 ½

10.Nilai ulangan Matematika suatu kelas tercatat sebagai berikut :
7, 7, 8, 4, 5, 7, 7, 5, 8, 5, 6, 7, 6, 9, 6, 6, 7, 9
Mean dari nilai tersebut di atas adalah … .
A. 7,5 B. 7,6 C. 6,6 D. 6,3

11. Dari data soal no. 10 Mediannya adalah …
A. 7,5 B. 7 C. 6,6 D. 6

12. Diberikan data : 5, 6, 7, 9, 10 , 12, 15, m.
Jika rata-rata data di atas adalah 10,25 maka nilai dari m adalah ….
A. 16 B. 17 C. 18 D. 20

13. Dari data nilai ulangan Matematika 10 siswa diketahui sebagai berikut :
5, 8, 9, 8, 6, 7, 8, 7, 8, 6
Banyaknya siswa yang nilainya di atas nilai rata-rata adalah ….
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
14. Nilai rata-rata ulangan Matematika sekelompok siswa adalah 5,3.
Jika ditambahkan 4 orang siswa yang nilainya 5,7 , 6,7 , 6 dan 5,6 nilai rata-ratanya menjadi 5,5. Banyaknya siswa dalam kelompok semula adalah … .
A. 7 B. 8 C. 10 D. 15

15. Rataan tes Matematika 12 siswa adalah 7,2. Bila nilai Deni disertakan dalam perhitungan, nilai rataannya menjadi 7,3. Nilai Matematika Deni adalah … .
A. 6,0 B. 6,1 C. 8,4 D. 8,5

16. Diketahui data sebagai berikut :

62,58,62,64,65,56,56,64,57,63,54,55,56,57,63,60,58,59,62,63.
Median dan Modus dari data di atas masing-masing adalah … .

A. 59 dan 56 C. 60 dan 56, 62
B. 59,5 dan 56, 62,63 D. 62 dan 56, 63

17. Dalam suatu kelas terdapat 40 suara, 21 diantaranya perempuan. Nilai rataan ulangan Matematika siswa perempuan adalah 68, sedangkan nilai rataan siswa laki-laki 62. Nilai rata-rata kelasnya adalah … .
A. 66 B. 65,5 C. 65,15 D. 64

18. Departemen Kesehatan melakukan penelitian terhadap siswa SMP di DKI Jakarta yang menderita sakit gigi. Sapel yang baik untuk penelitian tersebut adalah … .

A. Siswa dari beberapa SMP Negeri dan Swasta di DKI Jakarta
B. SIswa SMP Swasta di DKI Jakarta
C. Siswa SMP Negeri di DKI Jakarta
D. Seluruh siswa SMP di DKI Jakarta

19. Nilai ulangan harian matematika dari 12 orang siswa ditunjukkan data berikut:
58 45 80 85 48 65
44 90 95 75 60 70

Selisih antara datum terbesar dan datum terkecil dari data di atas adalah….
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60

20. Nilai ujian matematika dari sepuluh orang siswa adalah sebagai berikut:
6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9

Mean dari data di atas adalah….
A. 7,4
B. 7,5
C. 7,6
D. 7,7

21. Nilai ujian matematika dari sepuluh orang siswa adalah sebagai berikut:
5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9

Modus dari data di atas adalah….
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

22 Nilai rataan ujian dari 5 mata pelajaran yang diikuti Budi 80. Jika ditambahkan nilai mata pelajaran biologi, nilai rataan Budi menjadi 82 dengan demikian maka nilai biologi Budi adalah….
A. 90
B. 92
C. 94
D. 96

23. Tinggi rata-rata 10 pemain sepakbola sebuah klub adalah 162 cm. Jika digabung dengan 5 pemain lagi maka tinggi rata-rata pemain tersebut adalah 160 cm. Tinggi rata-rata 5 pemain tersebut adalah….cm
A. 155
B. 156
C. 159
D. 160
24. Nilai ujian matematika dari sepuluh orang siswa adalah sebagai berikut:
5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9

Median dari data di atas adalah….
A. 6,5
B. 7
C. 7,5
D. 8

by

KISI – KISI UN MATEMATIKA SMP materi : Persamaan Linear

Materi / SKL / Kisi-kisi Ujian : PERSAMAAN LINIER
Persamaan Linier Satu atau Dua Variable
Pertidaksamaan Satu Variabel
Penerapan Aljabar

1) UN Matematika SMP/MTS Tahun 2005
Diketahui sistem persamaan
3x + 7y = 1
2x – 3y = 16
Nilai x y =….
A. 8
B. 6
C. –10
D. –12
2) UN Matematika SMP/MTS Tahun 2006
Himpunan penyelesaian dari 3 – 6x ≥ 13 – x untuk x Є himpunan bilangan bulat adalah….
A. {…, –5, –4, –3}
B. {–3, –2, –1, 0, … }
C. {…, –5, –4, –3, –2}
D. {–2, –1, 0, 1, …}

3) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2007
Penyelesaian dari pertidaksamaan 1/2 (2x−6) ≥ 2/3 (x − 4) adalah….
A. x ≥ – 17
B. x ≥ – 1
C. x ≥ 1
D. x ≥ 17

4) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2007
Diketahui sistem persamaan 3x + 3y = 3 dan 2x – 4y = 14. Nilai 4x – 3y =…..
A. – 16
B. – 12
C. 16
D. 18

5) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2007
Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00, sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp 185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos adalah…..
A. Rp 275.000,00
B. Rp 285.000,00
C. Rp 305.000,00
D. Rp 320.000,00

6) UN Matematika SMP/MTs Tahun 2008
Himpunan penyelesaian dari –5 – 7x ≤ 7 – x untuk x bilangan bulat, adalah….
A. {–1, 0, 1, 2, 3, …}
B. {–2, –1, 0, 1, 2, …}
C. {…, –6, –5, –4, –3, –2}
D. {…, –7, –6, –5, –4, –3}

7) UN Matematika SMP/MTs Tahun 2008
Harga 3 kg apel dan 5 kg jeruk adalah Rp 85.000,00. Harga 5 kg apel dan 7 kg jeruk adalah Rp 123.000,00. Harga 1 kg apel dan 1 kg jeruk adalah….
A. Rp 33.000,00
B. Rp 24.000,00
C. Rp 19.000,00
D. Rp 18.000,00

8) UN Matematika SMP/MTs Tahun 2008
Jika x dan y memenuhi system persamaan 3x – y = 16 dan x + y = 12, maka x + 2y adalah…..
A. 14
B. 17
C. 19
D. 22

9) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2009
Diketahui persamaan 5x − 6 = 2x + 3. Nilai x + 5 adalah….
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8

10) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2009
Penyelesaian dari sistem persamaan 3x − 2y = 7 dan 2x + y = 14 adalah x dan y. Nilai −2x + 3y adalah….
A. 22
B. 12
C. 10
D. 2

11) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2009
Fitra membeli 3 buku dan 2 pensil seharga Rp11.500,00. Prilly membeli 4 buku dan 3 pensil dengan harga Rp16.000,00. Jika Ika membeli 2 buku dan 1 pensil, jumlah uang yang harus dibayar adalah…..
A. Rp4.500,00
B. Rp6.500,00
C. Rp7.000,00
D. Rp7.500,00

12) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2010
Jika 2x + 7 = 5x − 11, maka nilai x + 3adalah..…
A. – 4
B. 4
C. 9
D. 14

13) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2010
Diketahui
Nilai x − y adalah….
A. –1
B. 0
C. 1
D. 2
14) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2010
Tempat parkir untuk motor dan mobil dapat menampung 30 buah kendaraan. Jumlah roda seluruhnya 90 buah. Jika banyak motor dinyatakan dengan x dan banyak mobil dinyatakan dengan y, sistem persamaan linear dua variabel dari pernyataan di atas adalah….
A.
B.
C.
D.
15) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2011
Nilai x yang memenuhi persamaan 1/2 (x − 10) = 2/3 x − 5 adalah…
A. –6
B. –4
C. 4
D. 6

16) UN Matematika SMP / MTs Tahun 2011
Jika x dan y adalah penyelesaian dari sistem persamaan 7x + 2y = 19 dan 4x − 3y = 15, nilai dari 3x − 2y adalah….
A. −9
B. −3
C. 7
D. 11
17) UN Matematika SMP/MTs Tahun 2013
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x − 1 ≤ 3x + 1 dengan x bilangan bulat adalah….
A. {x | x ≥ −2, x bilangan bulat}
B. {x | x ≤ −2, x bilangan bulat}
C. {x | x ≤ 5, x bilangan bulat}
D. {x | x ≥ 5, x bilangan bulat}

18) UN Matematika SMP/MTs Tahun 2013
Jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah 30. Jumlah bilangan terbesar dan bilangan terkecil adalah…
A. 10
B. 18
C. 20
D. 22

19) UN Matematika SMP/MTs Tahun 2013
Harga 2 pensil dan 3 penggaris Rp6.000,00, sedangkan harga 4 pensil dan 2 penggaris Rp8.000,00. Harga 3 pensil dan 2 penggaris adalah…
A. Rp6.000,00
B. Rp6.500,00
C. Rp7.000,00
D. Rp8.000,00

by

LINGKARAN SMA KLS XI IPA

Ringkasan Materi Lingkaran Untuk Sma Kelas XI IPA

Lingkaran

Lihatlah benda-benda di sekitarmu. Dapatkah kamu menemukan benda-benda
berbentuk lingkaran? Ternyata banyak sekali benda-benda berbentuk lingkaran, seperti
roda kendaraan, CD, arloji, dan sebagainya.
Dalam bab ini kamu akan mempelajari lingkaran yang terkait dengan persamaan
lingkaran dan garis singgungnya. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapat
menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi syarat tertentu serta menentukan
persamaan garis singgung pada lingkaran dengan berbagai situasi.

A Persamaan Lingkaran

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan atau
himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu
titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan
pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan
jari-jari lingkaran.
Dari gambar di samping, titik O adalah pusat
lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka
OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.

2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan (a, b)

a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)

Jika titik A(xA , yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku
OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik
A(xA , yA) diperoleh:
OA = r = ( 0)2 ( 0)2 A A x −y −
r2 = (xA – 0)2 + (yA – 0)2
r2 = xA
2 + yA
2
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)
dan berjari-jari r adalah:
x2 + y2 = r2
Untuk lebih memahami tentang cara menentukan
persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0),

b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)
Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik
B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari
lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.
r = jarak A ke B
r2 = (AB)2
= (xB – xA)2 + (yB – yA)2
= (x – a)2 + (y – b)2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)
dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A (a, b), perhatikan

3. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya
Diketahui
Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran:
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (–A, –B) dan jarijari
lingkaran (r) = a2 b2 −C2 atau r = A2 B2 −C

4. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran
a. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2
1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x1
2 + y1
2 r2.

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:
1) Jika D r).
2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak
pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).
3) Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak
pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r). Perhatikan gambar berikut. D 0
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada
Lingkaran

Telah kamu pelajari bahwa posisi garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan,
yaitu garis yang memotong lingkaran di dua titik yang berbeda, garis yang tidak memotong
lingkaran, dan garis yang memotong lingkaran di satu titik atau yang sering disebut garis
singgung pada lingkaran.

a. Persamaan Garis Singgung di Titik P (x1, y1) pada Lingkaran

x2 + y2 = r2

Garis singgung l menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik P(x1, y1) karena OP ⊥
garis l.
Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.
y – y1 = ml (x – x1)
y – y1 = 1
1
x
y −(x – x1)
y1 (y – y1) = –x1 (x – x1)
y1y – y1
2 = –x1x + x1
2
x1x + y1y = x1
2 + y1
2
x1x + y1y = r2
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) ialah:
x1x + y1y = r2

b. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x1, y1) pada Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Dari persamaan garis singgung melalui titik Q(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 +
(y – b)2 = r2 adalah:
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
x1x – ax1 – ax + a2 + y1y – by1 – by + b2 = r2
x1x – a(x1 + x) + a2 + y1y – b(y1 + y) + b2 = r2
x1x + y1y – a(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0
Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a2 + b2 – r2, persamaannya menjadi:
x1x + y1y – a(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0
Maka persamaan garis singgung melalui Q(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax +
2By + C = 0 adalah
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

d. Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)
Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada
lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis
BC adalah x1x + y1y = r2 disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1)
disebut titik kutub.
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran dapat
ditentukan dengan langkah-langkah:
1) Membuat persamaan garis kutub dari
titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
2) Melalui titik potong antara garis kutub
lingkaran.
3) Membuat persamaan garis singgung
melalui titik potong garis kutub dan
lingkaran.

2. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui
a. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2 = r2
Untuk persamaan garis singgung y = mx + n
⇒x2 + (mx + n)2 = r2
⇔x2 + m2x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
⇔(1 + m2)x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga
(2mn)2 – 4(1 + m2) (n2 – r2) = 0
4m2n2 – 4(n2 + m2n2 – r2 – m2r2) = 0 :4
m2n2 – n2 – m2n2 + r2 + m2r2 = 0
⇔n2 = r2 + m2r2
⇔n2 = r2 (1 + m2)
⇔n = ± r 1m2
b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Dengan cara seperti mencari persamaan garis singgung dengan gradien m pada
lingkaran x2 + y2 = r2 adalah:
y = mx ± r 1m2
Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah:
y – b = m(x – a) ± r 1m2
c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke
bentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2 sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu:
y – b = m(x – a) ± r 1m2